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2012.09.24

abc予想に親しむ(2)

自然数a, b, cに関して

  1. a + b = cであり,
  2. aとbが互いに素であり,
  3. rad(abc) < cである

が成立するとき,このa, b, cをabc-tripleと言う。
(以前の記事ではrad(abc)をr(a, b, c)と書いていたが,Wikipedia(ここのところ,毎日のように加筆修正がされている)などの記述に合わせて表記を改めた)

望月新一教授が証明したとされるabc予想(Oesterle, Masserによるabc予想)とはこのabc tripleに対し,以下の関係が成り立つという予想である:

任意の実数εに対し,有限個の例外を除いて,常にrad(abc)^(1+ε) > cが成立する。

バリエーションとして,ε= 1すなわち1+ε= 2であれば,例外なくこの関係が成立する:

rad(abc)^2 > c

という予想もあり,これが中国新聞などで取り上げられたabc予想の例である。


さて,以前の記事でも書いたようにabc予想の証明を理解するのは不可能。そのかわりに本記事ではabc-tripleに親しんでみようと思う。


  ◆   ◆   ◆


準備

数学というよりも算数のレベルだが,abc-tripleには"b < c < 2b"という関係がある。

"b < c < 2b"であることの証明

(1) b < cの証明

 a > 0である。

 a + b = cを変形するとa = c - b。

 これをa > 0に代入するとc - b > 0。

 ゆえにb < c。

(2) c < 2bの証明

 a < bである。

 これにa = c - bを代入するとc - b < b。

 ゆえにc < 2b。


つぎに実際のabc-tripleをグラフ化して,この関係を確認してみよう。


abc-tripleのグラフ化

ライデン大学が中心となって進めているプロジェクト,ABC@Homeでは分散コンピューティングによって莫大な数のabc-tripleを算出している。

小生はc < 10^18の範囲のabc-tripleのデータをABC@Homeからダウンロードしてきたのだが,解凍してみたらテキストデータで462,004,587バイトもの大きさがあった。

そのデータのうち,cが10000以下のものを以下に示す。全部で121組ある。

さて,この121組のabc-tripleからbとcの組を取り出し,散布図にしてみると次のようになる:

Abctriplesbelow10001

さらに,cが100万以下のもの,1268組を散布図にしてみると次のようになる:

Abctriplesbelow1000001

c = 2bの直線を引いてみたが,明らかにc = b(対角線)とc = 2bの直線の間,つまりb < c < 2bの間に点が分布しているのがわかるだろう。当たり前と言えば当たり前。

注目してもらいたいのは次の2点である:

  1. 対角線に極めて近い位置,正確には直線c = b - 1上にプロットされたabc-tripleが非常に多い
  2. 数多くはないがc = 2bに極めて近い場所にもいくつかのabc-tripleがプロットされている

直線c = b - 1にプロットされるabc-tripleとは,要するにa = 1となるabc-tripleである。これを"a = 1"型とでも呼ぼうか。このタイプのabc-tripleが多いことはよく知られた話である。たとえば,a = 1, b = 9^n - 1, c = 9^n, n = 1, 2, 3, ...,となる自然数a, b, cの組は全てabc-tripleである。

cが100万以下のabc-tripleの中で,c = 2bに極めて近い場所にプロットされるものとしてc / b > 1.99となるものを選び出すと,以下の4組が見つかる:

(a, b, c) =
(58600, 59049, 117649) = (2^3 * 5^2 * 293, 3^10, 7^6),
(65219, 65853, 131072) = (7^2 * 11^3, 3^5 * 271, 2^17),
(130321, 131072, 261393) = (19^4, 2^17, 3 * 11 * 89^2),
(388127, 390625, 778752) = (17^3 * 79, 5^8, 2^9 * 3^2 * 13^2)

これらの間に法則性でも見つかるかと思ったが今のところ不明。何か発見したら教えてください。

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コメント

ABC予想の正誤としてこんな質問がgooにありました。

某有名掲示板で見たんだけどこれって正しいの?
望月教授のABC予想と矛盾はしてないの?
組み合わせは無限個になるんだって。

ちゃねらーが解明(´・ω・`)? ABC予想とビール予想
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/rikei/143704

投稿: 素数さん | 2015.08.07 02:56

初耳です。調べてみます。

投稿: fukunan | 2015.08.19 23:16

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