双曲型熱伝導方程式(HHCE)と相対論的熱伝導方程式(RHCE)の解説

今日は全くもってアカデミックというか趣味の話。

熱伝導方程式といえばふつうは熱バランス式：

やフーリエの法則：

から導出される放物型の方程式：

が思い浮かぶが，これだと熱に関する情報が無限大の速度で広がってしまうので，昔から改良が提案されていた。

改良型としては双曲型熱伝導方程式(Hyperbolic Heat Conduction Equation: HHCE)：

がMorse & Feshbach [1], Cattaneo [2], Vernotte [3], Chester [4]らによって提案されていた。

しかし，導出のしかたがなんとも場当たり的だった。

そこで，情報伝達速度Cは有限だという相対論的立場から，Ali & Zhang[5]は熱バランス式やフーリエの法則に出てくるナブラ∇やLaplacian∇^2を，4次元ナブラ = quad: □や4次元Laplacian = d'Alembertian: □^2で置き換えて4次元版の熱バランス式：

や4次元版フーリエの法則：

を定義し，これら2つの式から相対論的熱伝導方程式(Relativistic Heat Conduction Equation: RHCE)：

を導出した。HHCEもRHCEも形式的には同一であるが，導出過程，そもそもの世界観が異なる。

その辺の話は以下にまとめといたので，万が一興味があればご参照いただきたい：

• 双曲型熱伝導方程式 (Hyperbolic Heat Conduction Equation)の導出
• 相対論的熱伝導方程式 (Relativistic Heat Conduction Equation)の導出

これらの式がなんの役に立つかは各自の宿題とする。

参考：
[1] P. M. Morse, H. Feshbach, Method of Theoretical Physics, McGraw-Hill, New York, 1953
[2] C. R. Cattaneo: Sur une forme de l'équation de la chaleur éliminant le paradoxe d'une propagation instantanée, Compte. Rend. 247 (4) (1958), pp. 431 – 433
[3] P. Vernotte: Les paradoxes de la theorie continue de l'équation de la chaleur, Compte. Rend. 246 (22) (1958), pp. 3154 – 3155
[4] M. Chester: Second sound in solid, Phys. Rev. 131 (15) (1963), pp. 2013 – 2015
[5] Y. M. Ali, L. C. Zhang: Relativistic heat conduction, Int. J. Heat and Mass Transfer, 48 (2005), pp. 2397 – 2406