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2008.08.21

倉敷の高校の先生が「相加相乗平均の定理」のシンプルな証明

BNPパリバの陰謀とか、グルジア・ロシア戦争とか、殺伐とした話題ばかりだったので、崇高な世界に戻りたいと思います。

倉敷の高校の先生が「相加相乗平均の定理」のシンプルな証明を国際学術雑誌で発表したという:「相加相乗平均に新証明法 高校教諭、運転中にひらめく」(アサヒコム、2008年8月18日)

相加相乗平均の定理」というのは、

相加平均:(A1 + A2 + ... + A[n]) / n

が、相乗平均:(A1 * A2 * ... * A[n]) ^ (1/n) より大きいか、等しい:

(A1 + A2 + ... + A[n]) / n ≧ (A1 * A2 * ... * A[n]) ^ (1/n) ......(1)

という定理である。数式が読みにくくてすみませんね。

実際にその論文を仕入れたので紹介する:
Yasuharu Uchida, A Simple Proof of the Geometric-Arithmetic Mean Inequality, Journal of inequalities in pure and applied mathematics, Vol. 9 (2008), issue 2, Article 56

a1 = A1 ^ (1/n), a2 = A2 ^ (1/n), …とおけば、不等式(1)は

a1 ^ n + a2 ^ n + ... + a[n] ^ n ≧ n * a1 * a2 * ... * a[n] ......(2)

と書き直すことができる。

不等式(2)を証明するために、次の不等式(3)を繰り返し適用するというのが、この証明の味噌である。

x1 ≧ x2, y1 ≧ y2のとき、
x1 * y1 + x2 * y2 ≧ x1 * y2 + x2 * y1 ......(3)

不等式(3)の証明は簡単である。中学生(?)でもできる:
x1 * y1 + x2 * y2 - (x1 * y2 + x2 * y1) = x1 * (y1 - y2) - x2 * (y1 - y2)
= (x1 - x2) * (y1 - y2) >= 0

n = 2の場合:

さて、n = 2の場合の不等式(2)は不等式(3)を使ってすぐに証明できる。すなわち、x1, y1 = a1, x2, y2 = a2として代入すれば、

 a1 * a1 + a2 * a2 ≧ a1 * a2 + a2 * a1

つまり、
a1 ^ 2 + a2 ^ 2 ≧ 2 * a1 * a2

となり、証明終了。

n = 3の場合:

a1 ≧ a2 ≧ a3のとき、

a1 ^ 3 + a2 ^ 3 + a3 ^ 3 ≧ 3 * a1 * a2 * a3

であることを証明するのだが、ちょっと大変。不等式(3)を繰り返し使って、左辺を変形していくのだ。
a1 ^ 3 + a2 ^ 3 + a3 ^ 3 =
a1 ^ 3 + (a2 ^ 2) * a2 + (a3 ^ 2) * a3
a1 ^ 3 + (a2 ^ 2) * a3 + (a3 ^ 2) * a2

何が起きたか分かりましたか? a2とa3が入れ替わっているのである。ここで不等式(3)が適用された。では続き:
a1 ^ 3 + (a2 ^ 2) * a3 + (a3 ^ 2) * a2 =
a1 ^ 3 + (a3 ^ 2) * a2 + (a2 ^ 2) * a3 =
(a1 ^ 2) * a1 + (a2 * a3) * a3 + (a2 ^ 2) * a3 ≧
(a1 ^ 2) * a3 + (a2 * a3) * a1 + (a2 ^ 2) * a3

今回はa1とa3の入れ替えである。さらに続ける:
(a1 ^ 2) * a3 + (a2 * a3) * a1 + (a2 ^ 2) * a3 =
(a1 ^ 2 + a2 ^ 2) * a3 + a1 * a2 * a3

ここで、a1 ^ 2 + a2 ^ 2 >= 2 * a1 * a2ということがすでに分かっているので、
(a1 ^ 2 + a2 ^ 2) * a3 + a1 * a2 * a3 ≧
(2 * a1 * a2) * a3 + a1 * a2 * a3 =
3 * a1 * a2 * a3

以上で
a1 ^ 3 + a2 ^ 3 + a3 ^ 3 ≧ 3 * a1 * a2 * a3

が成立しました。お疲れ様でした。

一般(n = k + 1)の場合:

n = kの場合、すなわち

a1 ^ k + a2 ^ k + ... + a[k] ^ k ≧ k * a1 * a2 * ... * a[k]

が成立しているものと仮定して以下の作業を行う(=数学的帰納法):
a1 ^ (k + 1) + a2 ^ (k + 1) + ... + a[k + 1] ^ (k + 1) ≧
(a1 ^ k + a2 ^ k + ... + a[k] ^ k) * a[k + 1] + a1 * a2 * ... * a[k + 1] ≧
(k * a1 * a2 * ... * a[k]) * a[k + 1] + a1 * a2 * ... * a[k + 1] =
(k + 1) * (a1 * a2 * ... * a[k + 1])

ということで成立。

内田康晴先生、たいしたもんですな。

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